Ειδικά θέματα Aριθμητικής Aνάλυσης και Eφαρμοσμένων Mαθηματικών
Αικατερίνη Αρετάκη, Μαρία Αδάμ
Η Αριθμητική Ανάλυση αποτελεί θεμελιώδες πεδίο των εφαρμοσμένων μαθηματικών με αντικείμενο την ανάπτυξη και μελέτη αλγορίθμων για την επίλυση υπολογιστικών προβλημάτων, που συναντώνται στην Πληροφορική, την Υπολογιστική Ιατρική και τη Βιολογία.
Σκοπός του μαθήματος είναι η παρουσίαση και μελέτη των βασικών προβλημάτων της Αριθμητικής Ανάλυσης και των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, όπως είναι:
- η αριθμητική επίλυση γραμμικών συστημάτων,
- η εύρεση ιδιοτιμών πινάκων και η αναζήτηση φραγμάτων τους σε πίνακες μεγάλης κλίμακας,
- οι παραγοντοποιήσεις πινάκων με εφαρμογές σε προβλήματα ελαχίστων τετραγώνων και ανάλυσης σφαλμάτων,
- η παρεμβολή και η αριθμητική διαφόριση και ολοκλήρωση με εφαρμογές στη Βιοϊατρική.
Η Αριθμητική Ανάλυση αποτελεί θεμελιώδες πεδίο των εφαρμοσμένων μαθηματικών με αντικείμενο την ανάπτυξη και μελέτη αλγορίθμων για την επίλυση υπολογιστικών προβλημάτων, που συναντώνται στην Πληροφορική, την Υπολογιστική Ιατρική και τη Βιολογία.
Σκοπός του μαθήματος είναι η παρουσίαση και μελέτη των βασικών προβλημάτων της Αριθμητικής Ανάλυσης και των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, όπως είναι:
- η αριθμητική επίλυση γραμμικών συστημάτων,
- η εύρεση ιδιοτιμών πινάκων και η αναζήτηση φραγμάτων τους σε πίνακες μεγάλης κλίμακας,
- οι παραγοντοποιήσεις πινάκων με εφαρμογές σε προβλήματα ελαχίστων τετραγώνων και ανάλυσης σφαλμάτων,
- η παρεμβολή και η αριθμητική διαφόριση και ολοκλήρωση με εφαρμογές στη Βιοϊατρική.
Η Αριθμητική Ανάλυση αποτελεί θεμελιώδες πεδίο των εφαρμοσμένων μαθηματικών με αντικείμενο την ανάπτυξη και μελέτη αλγορίθμων για την επίλυση υπολογιστικών προβλημάτων, που συναντώνται στην Πληροφορική, την Υπολογιστική Ιατρική και τη Βιολογία.
Σκοπός του μαθήματος είναι η παρουσίαση και μελέτη των βασικών προβλημάτων της Αριθμητικής Ανάλυσης και των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, όπως είναι:
- η αριθμητική επίλυση γραμμικών συστημάτων,
- η εύρεση ιδιοτιμών πινάκων και η αναζήτηση φραγμάτων τους σε πίνακες μεγάλης κλίμακας,
- οι παραγοντοποιήσεις πινάκων με εφαρμογές σε προβλήματα ελαχίστων τετραγώνων και ανάλυσης σφαλμάτων,
- η παρεμβολή και η αριθμητική διαφόριση και ολοκλήρωση με εφαρμογές στη Βιοϊατρική.
Θεωρία Perron για θετικούς πίνακες.
Θεωρία Frobenius για μη αρνητικούς πίνακες.
Εφαρμογές στη θεωρία γραφημάτων.
Διαγωνοποίηση τυχαίου πίνακα.
Φασματικό θεώρημα.
Γενικευμένα ιδιοδιανύσματα. Μορφή Jordan.
Εφαρμογές παραγοντοποίησης στην επίλυση γραμμικού διαφορικού συστήματος, στον υπολογισμό ρίζας τετραγωνικού πίνακα.
Εφαρμογές της στην επίλυση γραμμικού συστήματος και στον υπολογισμό του Ψευδο-αντίστροφου πίνακα.
Μέθοδοι παρεμβολής (Γραμμική, κυβική, Lagrange, Spline, Hermite, ΜοΜ). Κατασκευή πυρήνων παρεμβολής (interpolation kernels). Εφαρμογή σε 2 διαστάσεις, σε ιατρικές εικόνες.
Κατασκευή φίλτρων διακριτής παραγώγισης (πεπερασμένης και άπειρης κρουστικής απόκρισης, FIR και IIR)
Αριθμητική επίλυση μερικών διφορικών εξισώσεων (ΜΔΕ).
Εφαρμογές ΜΔΕ σε επεξεργασία ιατρικών εικόνων (αποθορυβοποίηση, τμηματοποίηση, ενεργά περιγράμμτα).
Εφαρμογές ΜΔΕ σε βιολογικά συστήματα (διάχυση, μοντελοποίηση κυτταρικών πληθυσμών).
Ορισμός και ιδιότητες της νόρμας διανύσματος.
Ορισμός και ιδιότητες της νόρμας πίνακα.
Επαγόμενη νόρμα πίνακα.
Ορισμός αριθμητικού πεδίου.
Χαρακτηριστικές ιδιότητες.
Εφαρμογές.
Θεωρία πολυωνυμικών πινάκων και εφαρμογές στις Διαφορικές Εξισώσεις.
Προσέγγιση Ολοκληρώματος. Κανόνας Ορθογωνιου, Τραπεζίου Simpson.
Σφάλμα Ολοκλήρωσης.
